Question
Bonjour , j'ai un exercice de math que je n'arrive pas à résoudre, si quelqu'un pourrait m'aider, avec si possible une grosse explication, merci !
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=ax^2+bx+c où a,b et c sont des constantes réelles. On note Cf sa courbe représentative. On souhaite déterminer les valeurs de a,b etc de sorte que:
Contrainte 1) Cf admette une tangente horizontale au point d'abscisse -3.
Contrainte 2) Cf admette la droite d'équation y=4x+5 pour tangente au point d'abscisse -1.
1)a) Exprimer f '(x) en fonction de x,a,b et c.
b) D'après la contrainte 1), quelle doit être la valeur de f '(-3) ?
c) D'après la contrainte 2), justifier que f '(-1)=4 et que f(-1)=1.
2)a) En déduire que trouver a,b et c revient à résoudre le système suivant:
-6a+b=0
-2a+b=4
a-b+c=1
b) Résoudre ce système et en déduire l'expression de f(x).
Merci d'avance pour vos éventuelles réponses.
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=ax^2+bx+c où a,b et c sont des constantes réelles. On note Cf sa courbe représentative. On souhaite déterminer les valeurs de a,b etc de sorte que:
Contrainte 1) Cf admette une tangente horizontale au point d'abscisse -3.
Contrainte 2) Cf admette la droite d'équation y=4x+5 pour tangente au point d'abscisse -1.
1)a) Exprimer f '(x) en fonction de x,a,b et c.
b) D'après la contrainte 1), quelle doit être la valeur de f '(-3) ?
c) D'après la contrainte 2), justifier que f '(-1)=4 et que f(-1)=1.
2)a) En déduire que trouver a,b et c revient à résoudre le système suivant:
-6a+b=0
-2a+b=4
a-b+c=1
b) Résoudre ce système et en déduire l'expression de f(x).
Merci d'avance pour vos éventuelles réponses.
Asked by: USER9595
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Réponse :
Explications étape par étape
f'(x) = 2 a x + b
Cf admet une tangente horizontale au point d'abscisse -3 donc f'(- 3) = 0
soit - 6 a + b = 0
Cf admet la droite d'équation y = 4 x + 5 pour tangente au point d'abscisse - 1 or f'( - 1) est le coefficient directeur de la tangente en ce point donc f'(- 1) = 4
soit - 2 a + b = 4
La tangente au pont d'abscisse - 1 passe par ce point donc l'ordonnée du point est - 4 + 5 = 1
Ce point appartient à la courbe donc f(- 1 ) = 1 soit a - b + c = 1
2. En cumulant les trois conditions, on obtient le système demandé
- 6 a + b = 0 donc b = 6 a
- 2 a + b = 4 donc en remplaçant - 2 a + 6 a = 4 soit 4 a = 4 donc a = 1 donc b = 6
a - b + c = 1 donc 1 - 6 + c = 1 soit c = 6
f(x) = x^2 + 6 x + 6